Rekreasi Matematika 2

1. Bilangan berapakah apabila ditambah 5/4 memberikan hasil yang sama bila dikalikan 5/4?

Jawab:

Misalkan bilangan tersebut adalah x maka persoalan di atas dapat dituliskan sebagai:
x + 5/4 = x.5/4 <==> (4x + 5)/4 =5x/4 <==> 4x + 5 = 5x <==> 5 = (5-4)x

Jadi bilangan yang dimaksud adalah x = 5.

Pengembangan

1. Persoalan di atas dapat dimodifikasi lebih lanjut: bilangan berapa apabila dikurangi 6/7 hasinya sama apabila dibagi 6/7.
2. Bilangan berapa apabila ditambah 8/5 hasilnya sama apabila dikali 8/5.
3. dst
   

Rekreasi Matematika 1

1. Dua bilangan dua angka, dibaca dari kiri ke kanan nilainya lebih besar 4.5 kali dari bila dibaca dari kanan ke kiri. Bilangan berapakah itu?
   Misalkan bilangan dua angka 12, kalau dibaca dari kiri nilainya 12. Tetapi kalau dibaca dari kanan nilainya 21, apabila dibandingkan 12 dan 21 maka 21 = 7/4 x 12.

Jawab:
Misal bilangan tersebut dinotasikan ab. Maka bilangan tersebut bila dibaca dari kiri memiliki nilai
ab = 10.a + b
Tetapi bila dibaca dari kanan memiliki nilai
ba = 10.b + a.
Diketahui ab = 4.5 ba, dengan demikian
10.a + b = 4.5 x (10.b +a) <==> 10a + b = 45b +4.5a <==> (10 - 4.5) a = (45 - 1) b
atau
5.5 a = 44 b <==> 55 a = 440 b.
Selanjutnya dengan mendaftar nilai a diperoleh

• Untuk a = 0, tidak mungkin karena akan diperoleh bilangan satu angka 00 = 0.
• Untuk a = 1, juga tidak mungkin karena akan menghasilkan bilangan rasional untuk b.
• Kasus yang sama untuk a = 2,3,4,5,6,7, dan 9, menghasilkan bilangan rasional untuk b.
• Khusus untuk a = 8, akan menghasilkan bilangan bulat b = 1.

Dengan demikian bilangan yang dimaksud adalah 81.

Catatan:
Dengan penjelasan di atas, persoalan dapat dikembangkan sesuai keinginan. Baik untuk bilangan dua digit angka atau tiga digit. Ada yang mau mencoba!

Bahan Praktikum SIstem Dinamik II

> restart:with(plots):with(DEtools):
> phase:=proc(f,r)
local a,b,bn,bs,U;
a:=op([1,1],plot(args));
bn:=-`-`(op([2,1..2],r));
bs:=[a[1,1],seq(`if`(
(a[i-1,2]-0.0001*bn*signum(a[i-1,2]))*(a[i,2]-0.0001*bn*signum(a[i,2]))<0, i="2..nops(a)),a[-1,1]];">abs(x[2,1])<0.04, i="`if`(a[1,2]<0,2,1)..nops(b)-1,2)," i="`if`(a[1,2]<0,1,2)..nops(b)-1,2)]);" width="0.02,head_length=" view="[b[1]..b[-1],-1..1],color=">[x,0],b[2..-2]),symbol=circle,symbolsize=19),
plots[textplot](map(x->[x/bn,-0.07,sprintf("%.2f",x)],bs[2..-2])),
axes=none)
end:
System Dinamik dengan a>0
> phase(0.5*x ,x=-2..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=0.5*x(t) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=1],[x(0)=0.2],[x(0)=-1.1],[x(0)=-0.9]],x=-4..5,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
System Dinamik dengan a<0
> phase(-0.6*y,y=-2..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=-0.6*x(t) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=-1.1],[x(0)=-5]],x=-4..5,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan logistik dengan a>0
> phase(y*(1-y),y=-1..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t)) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=1.1],[x(0)=-0.01]],x=-4..5,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan logistik dengan a <0
> phase(-0.5*y*(1-y),y=-2..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=-0.5*x(t)*(1-x(t)) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=1.1],[x(0)=-1.1]],x=-2..4,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan Pemanenan dengan h < 1/4
> phase(x*(1-x)-0.2,x=-1..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t))-0.2 ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=0.5],[x(0)=1.1]],x=-2..2,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t),);
Sistem dinamik persamaan Pemanenan dengan h = 1/4
> phase(y*(1-y)-0.25,y=-1..1);
> solve(y*(1-y)-0.25,y);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t))-1/4 ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=1],[x(0)=0.40],[x(0)=0.5],[x(0)=1.1]],x=-1..2,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan Pemanenan dengan h > 1/4
> phase(y*(1-y)-0.27,y=-1..1);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t))-0.27 ,x(t),
t=0..20,[[x(0)=1],[x(0)=0.40],[x(0)=0.5],[x(0)=1.1]],x=-1..2,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t),arrows=LARGE);

Bahan Praktikum I Sistem Dinamik

Pada praktikum ini kita akan memperlihatkan sistem dinamik 1D. Visualisasi dari sistem dinamik tersebut diprogramkan dengan Maple sebagai berikut:

> restart:with(plots):

> phase:=proc(f,r)
local a,b,bn,bs,U;
a:=op([1,1],plot(args));
bn:=-`-`(op([2,1..2],r));
bs:=[a[1,1],seq(`if`(
(a[i-1,2]-0.0001*bn*signum(a[i-1,2]))*(a[i,2]-0.0001*bn*signum(a[i,2]))<0,
`if`(a[i-1,2]*a[i,2]<0, (a[i-1,1]*a[i,2]-a[i-1,2]*a[i,1])/(a[i,2]-a[i-1,2]),
fsolve(f,subsop([2,1]=a[i,2]-0.02*bn,[2,2]=a[i,2]+0.02*bn,r))),NULL),
i=2..nops(a)),a[-1,1]];
b:=bs/bn;
U:=remove(x->abs(x[2,1])<0.04,
[seq([[b[i]+0.01,0],[b[i+1]-b[i]-0.02,0]],i=`if`(a[1,2]<0,2,1)..nops(b)-1,2),
seq([[b[i+1]-0.01,0],[b[i]-b[i+1]+0.02,0]],i=`if`(a[1,2]<0,1,2)..nops(b)-1,2)]);
plots[display](plots[arrow](
U,width=0.02,head_length=0.04,view=[b[1]..b[-1],-1..1],color=blue),
plots[pointplot](map(x->[x,0],b[2..-2]),symbol=circle,symbolsize=19),
plots[textplot](map(x->[x/bn,-0.07,sprintf("%.2f",x)],bs[2..-2])),
axes=none)
end:
> phase(-x,x=-8..8);

Tugas diberikan pada saat praktikum.

SELAMAT IDUL FITRI 1429 H

SELAMAT IDUL FITRI, 1 SYAWAL 1429 H

MINAL AIDZIN WAL FAIDZIN

MOHON MAAF LAHIR DAN BATHIN

BAGI SEMUA YANG MENGENAL DAN TIDAK MENGENAL SAYA

Sang Juara

Suatu ketika, ada seorang anak yang sedang mengikuti
sebuah lomba mobil balap mainan. Suasana sungguh
meriah siang itu, sebab, ini adalah babak final. Hanya
tersisa 4 orang sekarang dan mereka memamerkan
setiap mobil mainan yang dimiliki. Semuanya buatan
sendiri, sebab, memang begitulah peraturannya.
Ada seorang anak bernama Mark. Mobilnya tak istimewa,
namun ia termasuk dalam 4 anak yang masuk final.
Dibanding semua lawannya, mobil Mark lah yang paling
tak sempurna. Beberapa anak menyangsikan kekuatan
mobil itu untuk berpacu melawan mobil lainnya.
Yah, memang, mobil itu tak begitu menarik. Dengan kayu
yang sederhana dan sedikit lampu kedip diatasnya, tentu
tak sebanding dengan hiasan mewah yang dimiliki mobil
mainan lainnya. Namun, Mark bangga dengan itu semua,
sebab,mobil itu buatan tangannya sendiri.
Tibalah saat yang dinantikan. Final kejuaraan mobil balap
mainan. Setiap anak mulai bersiap di garis start, untuk
mendorong mobil mereka kencang -kencang. Di setiap
jalur lintasan, telah siap 4 mobil, dengan 4 "pembalap"
kecilnya.Lintasan itu berbentuk lingkaran dengan 4 jalur
terpisah diantaranya.
Namun, sesaat kemudian, Mark meminta waktu sebentar
sebelum lomba dimulai. Ia tampak berkomat -kamit
seperti sedang berdoa. Matanya terpejam, dengan tangan
yang bertangkup memanjatkan doa. Lalu, semenit
kemudian, ia berkata, "Ya, aku siap!".
Dor. Tanda telah dimulai. Dengan satu hentakan kuat,
mereka mulai mendorong mobilnya kuat -kuat. Semua
mobil itu pun meluncur dengan cepat. Setiap orang
bersorak-sorai, bersemangat, menjagokan mobilnya
masing-masing. "Ayo..ayo...cepat..cepat, maju..maju",
begitu teriak mereka. Ahha...sang pemenang harus
ditentukan, tali lintasan finish pun telah terlambai. Dan,
Mark lah pemenangnya. Ya, semuanya senang, begitu
juga Mark. Ia berucap, dan berkomat -kamit lagi dalam
hati. "Terima kasih."
Saat pembagian piala tiba. Mark maju ke depan dengan
bangga. Sebelum piala itu diserahkan, ketua panitia
bertanya. "Hai jagoan, kamu pasti tadi berdoa kepada
Tuhan agar kamu menang, bukan?". Mark terdiam.
"Bukan, Pak, bukan itu yang aku panjatkan" kata Mark.
Ia lalu melanjutkan, "Sepertinya, tak adil untuk meminta
pada Tuhan untuk menolongmu mengalahkan orang lain.
"Aku, hanya bermohon pada Tuhan, supaya aku tak
menangis, jika aku kalah." Semua hadirin terdiam
mendengar itu. Setelah beberapa saat, terdengarlah
gemuruh tepuk-tangan yang memenuhi ruangan.

Bagaimana Anda Mampu Kuat Bekerja

Bagaimana seseorang tahan berjam -jam bekerja seolah
tak mengenal lelah? Apa pula rahasia pekerja rig lepas
pantai yang meninggalkan anak istri bertarung dengan
angin dan badai? Bagaimana juga dengan para petani,
nelayan, kuli, sopir angkutan, pekerja berat yang tahan
membanting tulang di tengah terik panas atau dingin
malam? Kekuatan apa yang mendorong mereka begitu
kuat secara fisik dan tangguh secara mental? Sedangkan
di sudut sempit yang lain, banyak orang mengeluh karena
persoalan yang tak lebih besar dari ujung kuku.
Kekuatan itu bernama cinta. Cinta yang melahirkan
harapan dan pengabdian bagi kepada siapakah mereka
mempersembahkan hasil kerja mereka; kepada keluarga
nun jauh disana; kepada masyarakat banyak yang
membutuhkan karya mereka; kepada alam yang
mengasuh mereka; kepada masa depan kehidupan yang
sejahtera; atau kepada hati tempat cinta itu mengalir.
Bila anda berkeluh kesah hanya karena harus
memperpanjang waktu kerja anda beberapa jam saja,
maka kenanglah punggung
bungkuk seorang kakek yang menarik sampah kota ini.
Beliau memiliki sesuatu yang ia cintai, yang kepadanya ia
ulurkan kerja. Kepada beliau kita belajar tentang
pengabdian atas nama cinta.

Memberi Tanpa Pertimbangan

Cobalah untuk mengawali suatu hari anda dengan niat
untuk memberi. Mulailah dengan sesuatu yang kecil yang
tak terlalu berharga di mata anda. Mulailah dari uang
receh. Kumpulkan beberapa receh yang mungkin
tercecer di sana -sini, hanya untuk satu tujuan: diberikan.
Apakah anda sedang berada di bis kota yang panas, lalu
datang pengamen bernyanyi memekakkan telinga. Atau,
anda sedang berada dalam mobil ber -ac yang sejuk, lalu
sepasang tangan kecil mengetuk meminta -minta. Tak
peduli bagaimana pendapat anda tentang kemalasan,
kemiskinan dan lain sebagainya. Tak perlu banyak pikir,
segera berikan satu dua keping pada mereka.

Barangkali ada rasa enggan dan kesal. Tekanlah
perasaan itu seiring dengan pemberian anda. Bukankah,
tak seorang pun ingin memurukkan dirinya menjadi
pengemis. Ingat, kali ini anda hanya sedang "berlatih"
memberi; mengulurkan tangan dengan jumlah yang tiada
berarti? Rasakan saja, kini sesuatu mengalir dari dalam
diri melalui telapak tangan anda. Sesuatu itu bernama
kasih sayang.
Memberi tanpa pertimbangan bagai menyingkirkan batu
penghambat arus sungai. Arus sungai adalah rasa kasih
dari dalam diri. Sedangkan batu adalah kepentingan yang
berpusat pada diri sendiri. Sesungguhnya, bukan receh
atau berlian yang anda berikan. Kemurahan itu tidak
terletak di tangan, melainkan di hati.

Ketekunan Adalah Kekuatan Anda.

Apa yang anda raih sekarang adalah hasil dari usaha - usaha kecil yang anda lakukan terus -menerus. Keberhasilan bukan sesuatu yang turun begitu saja. Bila anda yakin pada tujuan dan jalan anda, maka anda harus memiliki ketekunan untuk tetap berusaha. Ketekunan adalah kemampuan anda untuk bertahan di tengah tekanan dan kesulitan. Anda harus tetap mengambil langkah selanjutnya. Jangan hanya berhenti di langkah pertama. Memang semakin jauh anda berjalan, semakin banyak rintangan yang menghadang. Bayangkan, andai saja kemarin anda berhenti, maka anda tidak berada di sini sekarang. Setiap langkah menaikkan nilai diri anda. Apa pun yang anda lakukan, jangan sampai kehilangan ketekunan anda. Karena ketekunan adalah daya tahan anda. Pepatah mengatakan bahwa ribuan kilometer langkah di mulai dengan satu langkah. Sebuah langkah besar sebenarnya terdiri dari banyak langkah -langkah kecil. Dan langkah pertama keberhasilan harus anda mulai dari rumah anda. Rumah anda yang paling baik adalah hati anda. Itulah sebaik -baiknya tempat untuk memulai dan untuk kembali. Karena itu mulailah kemajuan anda dengan memajukan hati anda, kemudian pikiran anda dan usaha-usaha anda. Ketekunan hadir bila apa yang anda lakukan benar-benar berasal dari hati anda.

Malaikat Pelindung

Suatu ketika, ada seorang bayi yang siap untuk dilahirkan.
Maka, ia bertanya kepada Tuhan. "Ya Tuhan, Engkau
akan mengirimku ke bumi. Tapi, aku takut, aku masih
sangat kecil dan tak berdaya. Siapakah nanti yang akan
melindungiku disana?".
Tuhanpun menjawab. "Diantara semua malaikat -Ku, Aku
akan memilih seorang yang khusus untukmu. Dia akan
merawatmu dan mengasihimu." Si kecil bertanya lagi,
"Tapi, disini, di surga ini, aku tak berbuat apa -apa, kecuali
tersenyum dan bernyanyi. Semua itu cukup membuatku
bahagia. Tuhanpun menjawab, "Tak apa, malaikatmu itu,
akan selalu menyenandungkan lagu untukmu, dan dia
akan membuatmu tersenyum setiap hari. Kamu akan
merasakan cinta dan kasih sayang, dan itu semua pasti
akan membuatmu bahagia." Namun si kecil bertanya lagi,
"Bagaimana aku bisa mengerti ucapan mereka, jika aku
tak tahu bahasa yang mereka pakai?
Tuhanpun menjawab, "Malaikatmu itu, akan
membisikkanmu kata -kata yang paling indah, dia akan
selalu sabar ada disampingmu, dan dengan kasihnya, dia
akan mengajarkanmu berbicara dengan bahasa
manusia." Si kecil bertanya lagi, "Lalu, bagaimana jika aku
ingin berbicara padamu, ya Tuhan?"
Tuhanpun kembali menjawab, "Malaikatmu itu, akan
membimbingmu. Dia akan menengadahkan tangannya
bersamamu, dan mengajarkanmu untuk berdoa." Lagi -
lagi, si kecil menyelidik, "Namun, aku mendengar, disana,
ada banyak sekali orang jahat, siapakah nanti yang akan
melindungiku?
Tuhanpun menjawab, "Tenang, malaikatmu, akan terus
melindungimu, walaupun nyawa yang menjadi
taruhannya. Dia, sering akan melupakan kepentinganya
sendiri untuk keselamatanmu." Namun, si kecil kini malah
sedih, "Ya Tuhan, tentu aku akan sedih jika tak melihat-Mu
lagi.
Tuhan menjawab lagi, "Malaikatmu, akan selalu
mengajarkamu keagungan-Ku, dan dia akan mendidikmu,
bagaimana agar selalu patuh dan taat pada -Ku. Dia akan
selalu membimbingmu untuk selalu mengingat-Ku. Walau
begitu, Aku akan selalu ada disisimu."
Hening. Kedamaianpun tetap menerpa surga. Namun,
suara-suara panggilan dari bumi terdengar sayup -sayup.
"Ya Tuhan, aku akan pergi sekarang, tolong, sebutkan
nama malaikat yang akan melindungiku...."
Tuhanpun kembali menjawab. "Nama malaikatmu tak
begitu penting. Kamu akan memanggilnya dengan
sebutan: Ibu..."

Bersyukurlah Pada Apa Saja

Anda wajib mensyukuri apa pun yang menimpa anda. Ini
bukan masalah keberuntungan. Bersyukur menuntun
anda untuk senantiasa menyingkirkan sisi negatif dari
hidup. Orang lain mungkin mengatakan bahwa anda tidak
realistis. Namun, sebenarnya sikap anda jauh lebih
realistis, yaitu membebaskan diri anda dari kecemasan
atas kesalahan.

Bersyukur mendorong anda untuk bergerak maju dengan
penuh antusias. Tak ada yang meringankan hidup anda
selain sikapbersyukur. Semakin banyak anda bersyukur
semakin banyak anda menerima.Semakin banyak anda
mengingkari, semakin berat beban yang anda jejalkan
pada diri anda. Kebanyakan orang lebih terpaku pada
kegagalan lalu mengingkarinya. Sedikit sekali yang
melihat pada keberhasilan lalu mensyukurinya. Karena,
anda takkan pernah berhasil dengan menggerutu dan
berkeluh kesah.Anda berhasil karena berusaha.
Sedangkan usaha anda lakukan karena anda melihat sisi
positif. Hanya dengan bersyukurlah sisi positif itu tampak
di pandangan anda.

Tindakan Kita Sebatas Kita Memandang Dunia

Bila anda memandang diri anda kecil, dunia akan tampak
sempit, dan tindakan anda pun jadi kerdil.
Namun, bila anda memandang diri anda besar, dunia
terlihat luas, anda pun melakukan hal -hal penting dan
berharga.
Tindakan anda adalah cermin bagaimana anda melihat
dunia. Sementara dunia anda tak lebih luas dari pikiran
anda tentang diri anda sendiri. Itulah mengapa kita
diajarkan untuk berprasangka positif pada diri sendiri, agar
kita bisa melihat dunia lebih indah, dan bertindak selaras
dengan kebaikan -kebaikan yang ada dalam pikiran
kita.Padahal dunia tak butuh penilaian apa-apa dari kita. Ia
hanya memantulkan apa yang ingin kita lihat. Ia
menggemakan apa yang ingin kita dengar. Bila kita takut
menghadapi dunia, sesungguhnya kita takut menghadapi
diri kita sendiri.

Maka, bukan soal apakah kita berprasangka positif atau
negatif terhadap diri sendiri. Melampaui di atas itu, kita
perlu jujur melihat diri sendiri apa adanya. Dan, dunia pun
menampakkan realitanya yang selama ini tersembunyi di
balik penilaian-penilaian kita.

My beloved wife

Madinah di pagi hari

Masjid Nabawi

Halaman depan Masjid Nabawi

Deskripsi Matakuliah Sistem Dinamik

Mata kuliah : Sistem Dinamik
Kode : MAI 465
SKS/JS : 3/4
Dosen Pembina : Dr. Toto Nusantara

Deskripsi Materi
Matakuliah ini menyajikan pendekatan yang berbeda terhadap permasalahan persamaan diferensial. Pada matakuliah ini permasalahan persamaan diferensial ditinjau secara kualitatif. Artinya terhadap persoalan yang melibatkan persamaan diferensial, penyelesaian soal secara eksplisit bukanlah satu-satunya alat untuk mendeskripsikan persoalan yang sedang dihadapi.
Beberapa topik
Sistem Dinamik Linear
Sistem Dinamik Planar
Potrait Phase Sistem Planar
Klasifikasi Sistem Planar
Sistem Tak Linear
Titik Kestimbangan Sistem Tak Linear
Teknik Tak Linear Global

Referensi :
DIFFERENTIAL EQUATIONS,DYNAM ICAL SYSTEM S,AND AN INTRODUCTION TO CHAOS
Morris W .Hirsch University of California, Berkeley
Stephen Smale University of California, Berkeley
RobertL. Devaney Boston University

ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATION AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS
William E.Boyce Edward P.Hamilton Professor Emeritus
Richard C. DiPrima formerly Eliza Ricketts Foundation Professor Department of Mathematical Sciences Rensselaer Polytechnic Institute

Buku elektronik dapat dicopy di saya.