Rekreasi Matematika 2

1. Bilangan berapakah apabila ditambah 5/4 memberikan hasil yang sama bila dikalikan 5/4?

Jawab:

Misalkan bilangan tersebut adalah x maka persoalan di atas dapat dituliskan sebagai:
x + 5/4 = x.5/4 <==> (4x + 5)/4 =5x/4 <==> 4x + 5 = 5x <==> 5 = (5-4)x

Jadi bilangan yang dimaksud adalah x = 5.

Pengembangan

1. Persoalan di atas dapat dimodifikasi lebih lanjut: bilangan berapa apabila dikurangi 6/7 hasinya sama apabila dibagi 6/7.
2. Bilangan berapa apabila ditambah 8/5 hasilnya sama apabila dikali 8/5.
3. dst
   

Rekreasi Matematika 1

1. Dua bilangan dua angka, dibaca dari kiri ke kanan nilainya lebih besar 4.5 kali dari bila dibaca dari kanan ke kiri. Bilangan berapakah itu?
   Misalkan bilangan dua angka 12, kalau dibaca dari kiri nilainya 12. Tetapi kalau dibaca dari kanan nilainya 21, apabila dibandingkan 12 dan 21 maka 21 = 7/4 x 12.

Jawab:
Misal bilangan tersebut dinotasikan ab. Maka bilangan tersebut bila dibaca dari kiri memiliki nilai
ab = 10.a + b
Tetapi bila dibaca dari kanan memiliki nilai
ba = 10.b + a.
Diketahui ab = 4.5 ba, dengan demikian
10.a + b = 4.5 x (10.b +a) <==> 10a + b = 45b +4.5a <==> (10 - 4.5) a = (45 - 1) b
atau
5.5 a = 44 b <==> 55 a = 440 b.
Selanjutnya dengan mendaftar nilai a diperoleh

• Untuk a = 0, tidak mungkin karena akan diperoleh bilangan satu angka 00 = 0.
• Untuk a = 1, juga tidak mungkin karena akan menghasilkan bilangan rasional untuk b.
• Kasus yang sama untuk a = 2,3,4,5,6,7, dan 9, menghasilkan bilangan rasional untuk b.
• Khusus untuk a = 8, akan menghasilkan bilangan bulat b = 1.

Dengan demikian bilangan yang dimaksud adalah 81.

Catatan:
Dengan penjelasan di atas, persoalan dapat dikembangkan sesuai keinginan. Baik untuk bilangan dua digit angka atau tiga digit. Ada yang mau mencoba!

Bahan Praktikum SIstem Dinamik II

> restart:with(plots):with(DEtools):
> phase:=proc(f,r)
local a,b,bn,bs,U;
a:=op([1,1],plot(args));
bn:=-`-`(op([2,1..2],r));
bs:=[a[1,1],seq(`if`(
(a[i-1,2]-0.0001*bn*signum(a[i-1,2]))*(a[i,2]-0.0001*bn*signum(a[i,2]))<0, i="2..nops(a)),a[-1,1]];">abs(x[2,1])<0.04, i="`if`(a[1,2]<0,2,1)..nops(b)-1,2)," i="`if`(a[1,2]<0,1,2)..nops(b)-1,2)]);" width="0.02,head_length=" view="[b[1]..b[-1],-1..1],color=">[x,0],b[2..-2]),symbol=circle,symbolsize=19),
plots[textplot](map(x->[x/bn,-0.07,sprintf("%.2f",x)],bs[2..-2])),
axes=none)
end:
System Dinamik dengan a>0
> phase(0.5*x ,x=-2..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=0.5*x(t) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=1],[x(0)=0.2],[x(0)=-1.1],[x(0)=-0.9]],x=-4..5,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
System Dinamik dengan a<0
> phase(-0.6*y,y=-2..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=-0.6*x(t) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=-1.1],[x(0)=-5]],x=-4..5,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan logistik dengan a>0
> phase(y*(1-y),y=-1..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t)) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=1.1],[x(0)=-0.01]],x=-4..5,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan logistik dengan a <0
> phase(-0.5*y*(1-y),y=-2..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=-0.5*x(t)*(1-x(t)) ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=1.1],[x(0)=-1.1]],x=-2..4,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan Pemanenan dengan h < 1/4
> phase(x*(1-x)-0.2,x=-1..2);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t))-0.2 ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=5],[x(0)=0.2],[x(0)=0.5],[x(0)=1.1]],x=-2..2,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t),);
Sistem dinamik persamaan Pemanenan dengan h = 1/4
> phase(y*(1-y)-0.25,y=-1..1);
> solve(y*(1-y)-0.25,y);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t))-1/4 ,x(t),
t=0..10,[[x(0)=1],[x(0)=0.40],[x(0)=0.5],[x(0)=1.1]],x=-1..2,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t));
Sistem dinamik persamaan Pemanenan dengan h > 1/4
> phase(y*(1-y)-0.27,y=-1..1);
> DEplot(diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t))-0.27 ,x(t),
t=0..20,[[x(0)=1],[x(0)=0.40],[x(0)=0.5],[x(0)=1.1]],x=-1..2,stepsize=.05,color=sin(t), linecolor=sin(t),arrows=LARGE);

Bahan Praktikum I Sistem Dinamik

Pada praktikum ini kita akan memperlihatkan sistem dinamik 1D. Visualisasi dari sistem dinamik tersebut diprogramkan dengan Maple sebagai berikut:

> restart:with(plots):

> phase:=proc(f,r)
local a,b,bn,bs,U;
a:=op([1,1],plot(args));
bn:=-`-`(op([2,1..2],r));
bs:=[a[1,1],seq(`if`(
(a[i-1,2]-0.0001*bn*signum(a[i-1,2]))*(a[i,2]-0.0001*bn*signum(a[i,2]))<0,
`if`(a[i-1,2]*a[i,2]<0, (a[i-1,1]*a[i,2]-a[i-1,2]*a[i,1])/(a[i,2]-a[i-1,2]),
fsolve(f,subsop([2,1]=a[i,2]-0.02*bn,[2,2]=a[i,2]+0.02*bn,r))),NULL),
i=2..nops(a)),a[-1,1]];
b:=bs/bn;
U:=remove(x->abs(x[2,1])<0.04,
[seq([[b[i]+0.01,0],[b[i+1]-b[i]-0.02,0]],i=`if`(a[1,2]<0,2,1)..nops(b)-1,2),
seq([[b[i+1]-0.01,0],[b[i]-b[i+1]+0.02,0]],i=`if`(a[1,2]<0,1,2)..nops(b)-1,2)]);
plots[display](plots[arrow](
U,width=0.02,head_length=0.04,view=[b[1]..b[-1],-1..1],color=blue),
plots[pointplot](map(x->[x,0],b[2..-2]),symbol=circle,symbolsize=19),
plots[textplot](map(x->[x/bn,-0.07,sprintf("%.2f",x)],bs[2..-2])),
axes=none)
end:
> phase(-x,x=-8..8);

Tugas diberikan pada saat praktikum.

SELAMAT IDUL FITRI 1429 H

SELAMAT IDUL FITRI, 1 SYAWAL 1429 H

MINAL AIDZIN WAL FAIDZIN

MOHON MAAF LAHIR DAN BATHIN

BAGI SEMUA YANG MENGENAL DAN TIDAK MENGENAL SAYA

Sang Juara

Suatu ketika, ada seorang anak yang sedang mengikuti
sebuah lomba mobil balap mainan. Suasana sungguh
meriah siang itu, sebab, ini adalah babak final. Hanya
tersisa 4 orang sekarang dan mereka memamerkan
setiap mobil mainan yang dimiliki. Semuanya buatan
sendiri, sebab, memang begitulah peraturannya.
Ada seorang anak bernama Mark. Mobilnya tak istimewa,
namun ia termasuk dalam 4 anak yang masuk final.
Dibanding semua lawannya, mobil Mark lah yang paling
tak sempurna. Beberapa anak menyangsikan kekuatan
mobil itu untuk berpacu melawan mobil lainnya.
Yah, memang, mobil itu tak begitu menarik. Dengan kayu
yang sederhana dan sedikit lampu kedip diatasnya, tentu
tak sebanding dengan hiasan mewah yang dimiliki mobil
mainan lainnya. Namun, Mark bangga dengan itu semua,
sebab,mobil itu buatan tangannya sendiri.
Tibalah saat yang dinantikan. Final kejuaraan mobil balap
mainan. Setiap anak mulai bersiap di garis start, untuk
mendorong mobil mereka kencang -kencang. Di setiap
jalur lintasan, telah siap 4 mobil, dengan 4 "pembalap"
kecilnya.Lintasan itu berbentuk lingkaran dengan 4 jalur
terpisah diantaranya.
Namun, sesaat kemudian, Mark meminta waktu sebentar
sebelum lomba dimulai. Ia tampak berkomat -kamit
seperti sedang berdoa. Matanya terpejam, dengan tangan
yang bertangkup memanjatkan doa. Lalu, semenit
kemudian, ia berkata, "Ya, aku siap!".
Dor. Tanda telah dimulai. Dengan satu hentakan kuat,
mereka mulai mendorong mobilnya kuat -kuat. Semua
mobil itu pun meluncur dengan cepat. Setiap orang
bersorak-sorai, bersemangat, menjagokan mobilnya
masing-masing. "Ayo..ayo...cepat..cepat, maju..maju",
begitu teriak mereka. Ahha...sang pemenang harus
ditentukan, tali lintasan finish pun telah terlambai. Dan,
Mark lah pemenangnya. Ya, semuanya senang, begitu
juga Mark. Ia berucap, dan berkomat -kamit lagi dalam
hati. "Terima kasih."
Saat pembagian piala tiba. Mark maju ke depan dengan
bangga. Sebelum piala itu diserahkan, ketua panitia
bertanya. "Hai jagoan, kamu pasti tadi berdoa kepada
Tuhan agar kamu menang, bukan?". Mark terdiam.
"Bukan, Pak, bukan itu yang aku panjatkan" kata Mark.
Ia lalu melanjutkan, "Sepertinya, tak adil untuk meminta
pada Tuhan untuk menolongmu mengalahkan orang lain.
"Aku, hanya bermohon pada Tuhan, supaya aku tak
menangis, jika aku kalah." Semua hadirin terdiam
mendengar itu. Setelah beberapa saat, terdengarlah
gemuruh tepuk-tangan yang memenuhi ruangan.

Bagaimana Anda Mampu Kuat Bekerja

Bagaimana seseorang tahan berjam -jam bekerja seolah
tak mengenal lelah? Apa pula rahasia pekerja rig lepas
pantai yang meninggalkan anak istri bertarung dengan
angin dan badai? Bagaimana juga dengan para petani,
nelayan, kuli, sopir angkutan, pekerja berat yang tahan
membanting tulang di tengah terik panas atau dingin
malam? Kekuatan apa yang mendorong mereka begitu
kuat secara fisik dan tangguh secara mental? Sedangkan
di sudut sempit yang lain, banyak orang mengeluh karena
persoalan yang tak lebih besar dari ujung kuku.
Kekuatan itu bernama cinta. Cinta yang melahirkan
harapan dan pengabdian bagi kepada siapakah mereka
mempersembahkan hasil kerja mereka; kepada keluarga
nun jauh disana; kepada masyarakat banyak yang
membutuhkan karya mereka; kepada alam yang
mengasuh mereka; kepada masa depan kehidupan yang
sejahtera; atau kepada hati tempat cinta itu mengalir.
Bila anda berkeluh kesah hanya karena harus
memperpanjang waktu kerja anda beberapa jam saja,
maka kenanglah punggung
bungkuk seorang kakek yang menarik sampah kota ini.
Beliau memiliki sesuatu yang ia cintai, yang kepadanya ia
ulurkan kerja. Kepada beliau kita belajar tentang
pengabdian atas nama cinta.